Question

16．已知数列{a_n}满足a_n+1=2+a_n（n∈N^*），且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式及{a_n}的前n项和S_n；
（2）设b_n=${2}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）证明：$\frac{{T}_{n}{T}_{n+2}}{{T}_{n+1}^{2}}$＜1（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）先由a_n+1=2+a_n（n∈N^*），a₁=1得到，数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式和前n项和公式，写出a_n和S_n，
（2）写出b_n的通项公式，数列{b_n}是以2为首项，以4为公比的等比数列，写出前n项和公式，
（3）分别写出T_n•T_n+2和${T}_{n+1}^{2}$，化简比较两者的大小，即可证明．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1=2+a_n（n∈N^*），且a₁=1．
∴a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
即a_n=2n-1，（n∈N^*），
∴{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
（2）∵b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2^2n-1=$\frac{1}{2}$•4ⁿ=2•4^n-1，
∴数列{b_n}是以2为首项，以4为公比的等比数列，
又数列{b_n}前n项和为T_n，则T_n=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$，
（3）$\frac{{T}_{n}{T}_{n+2}}{{T}_{n+1}^{2}}$$\frac{{4}^{2n+2}-{4}^{n}-{4}^{n+2}+1}{{4}^{2n+2}-2•{4}^{n+1}+1}$（n∈N^*），
4ⁿ+4ⁿ⁺²=$\frac{1}{4}•{4}^{n+1}+4•{4}^{n+1}$=$\frac{17}{4}$•4ⁿ⁺¹＞2•4ⁿ⁺¹，
4²ⁿ⁺²-4ⁿ-4ⁿ⁺²+1＜4²ⁿ⁺²-2•4ⁿ⁺¹+1，
∴$\frac{{T}_{n}{T}_{n+2}}{{T}_{n+1}^{2}}$＜1（n∈N^*）．

点评 本题考查等比等差数列的通项公式及前n项和公式，考查综合观察和转化能力，属于中档题．