Question

11．已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，求y=f（x）+g（x）的值域；
（2）记f^-1（x）为函数，f（x）的反函数，若关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x），再求y=f（x）+g（x）的值域；
（2）先求得反函数f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），构造函数，利用复合函数的单调性求得函数的值域．

解答 解：（1）∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
∴g（x）=log₂（2^-x+1）．
y=f（x）+g（x）=log₂（2^x+1）+log₂（2^-x+1）=log₂（2+2^-x+2^x）≥2，
∴y=f（x）+g（x）的值域为[2，+∞）；
（2）∵f（x）=log₂（2^x+1），
∴f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），
∴m=f^-1（x）-f（x）=log₂（2^x-1）-log₂（2^x+1）=log₂$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$）
当1≤x≤2时，$\frac{2}{5}$≤$\frac{2}{{2}^{x}+1}$≤$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$≤$\frac{3}{5}$，
∴m的取值范围是[log₂$\frac{1}{3}$，log₂$\frac{3}{5}$]．

点评 本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了函数的值域以及构造函数研究函数的性质等问题，还考查了转化思想和构造转化函数的能力．