Question

17．某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°
（1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；
（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形面积，求得x与AE的关系，进而根据余弦定理把x和AE的关系带入求得x和y的关系．
（2）根据均值不等式求得y的最小值，求得等号成立时的x的值即可．

解答 解：（1）∵AB=AC=2a，∠BAC=120°，
∴△ABC的面积是$\sqrt{3}$a²，
∴△ADE的面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
∵AD=x，DE=y，
∴①$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$x×AE×sin60°，
∴AE=$\frac{2{a}^{2}}{x}$，
②y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°=x²+AE²-x•AE=x²+（$\frac{2{a}^{2}}{x}$）²-2a²，
∴y＞0，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$，
又AE=$\frac{2{a}^{2}}{x}$≤2a，∴x≥a，
∵D在AB上，
∴x≤2a，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$  （a≤x≤2a），
（2）y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$≥$\sqrt{2•2{a}^{2}-2{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
当且仅当x²=$\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}$，即x=$\sqrt{2}$a时“=”成立，
此时AE=$\sqrt{2}$a，
∴使AD=AE=$\sqrt{2}$a时，DE最短，最短为$\sqrt{2}$a．

点评 本题主要考查基本不等式，以及函数的单调性求最值，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．