Question

9．设A，B是函数f（x）定义域集合的两个子集，如果对任意x_l∈A，都存在x₂∈B，使得f（x₁）f（x₂）=l，则称函数f（x）为定义在集合A，B上的“倒函数”，若函数f（x）=x²-$\frac{2}{3}$ ax³（a＞0），x∈R为定义在A=（2，+∞），B=（1，+∞）两个集合上的“倒函数”，则实数a取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （0，$\frac{3}{4}]$
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{3}{4}，\frac{3}{2}]$

Answer 1

分析 先将f（x）的单调性分析出，找到极大极小值，由此找到f（x₁）和f（x₂）的值域，等价转换为两集合的包含关系，再分类讨论即可．

解答 解：∵f（x）=x²-$\frac{2}{3}$ ax³（a＞0），
∴f′（x）=2x-2ax²，
则由f′（x）＞0得到函数f（x）的增区间为（0，$\frac{1}{a}$） 减区间为（-∞，0）、（$\frac{1}{a}$，+∞），
则f（x）_极小值=f（0）=0，f（x）_极大值=f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{3{a}^{2}}$，
由此可知f（x）的图象，
设集合M={f（x）|x∈（2，+∞）}，N={$\frac{1}{f（x）}$|x∈（1，+∞）}，
则对任意x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞）
使得f（x₁）f（x₂）=l，
等价于M⊆N，显然0∉N．
①当$\frac{3}{2a}$＞2，即0＜a＜$\frac{3}{4}$时，0∈M，不满足M⊆N；
②当1≤$\frac{3}{2a}$≤2，即$\frac{3}{4}$≤a≤$\frac{3}{2}$时，f（x）≤0，M=（-∞，f（2））⊆（-∞，0），
由于f（1）=$\frac{3-2a}{3}$≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含在（-∞，0）内满足M⊆N；
③当$\frac{3}{2a}$＜1，即a＞$\frac{3}{2}$，有f（1）＜0，f（x）在（1，+∞）上单减，
∴B=（$\frac{1}{f（x）}$，0），A=（0，f（2））不满足M⊆N，
综上可知a∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$]，
故选D．

点评 本题考查由导函数寻找f（x）的极大极小值，由此找到f（x₁）和f（x₂）的值域，等价转换为两集合的包含关系，再分类讨论即可．