Question

18．已知数列{a_n}为等差数列，满足$\left\{\begin{array}{l}2≤{a_1}+2{a_2}≤4\\-1≤2{a_2}+3{a_3}≤1\end{array}\right.$，则当a₄取最大值时，数列{a_n}的通项公式为a_n=$-\frac{1}{2}n+\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 转化表达式为首项与公差的不等式组，画出约束条件的可行域，利用a₄取最大值，求出首项与公差，即可求解通项公式．

解答 解：由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2≤3{a}_{1}+2d≤4}\\{-1≤5{a}_{1}+8d≤1}\end{array}\right.$，a₄=a₁+3d，
画出约束条件的可行域如图：
a₄=a₁+3d，当a₄=a₁+3d，经过可行域的A点时，a₄取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+2d=2}\\{5{a}_{1}+8d=1}\end{array}\right.$，可得a₁=1，d=$-\frac{1}{2}$．
此时a₄取最大值，a_n=$-\frac{1}{2}n+\frac{3}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}n+\frac{3}{2}$．

点评 本题考查线性规划的简单应用，数列的性质的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．