Question

6．已知函数f（x）=asin²x+bcos²x（a＞b）的值域为[1，3]
（1）求a、b的值与f（x）的最小正周期；
（2）用五点法画出上述函数在区间[-π，π]上的大致图象．

Answer 1

分析 （1）根据降幂公式，化简得f（x）=$\frac{1}{2}$（b-a）cos2x+$\frac{1}{2}$（a+b），函数的值域为[1，3]，列方程解得a=3，b=1，写出函数解析式，T=$\frac{2π}{ω}$；
（2）根据五点画出函数图象．

解答 解：（1）f（x）=asin²x+bcos²x（a＞b），由降幂公式，可得：
f（x）=a•$\frac{1-cos2x}{2}$+b$\frac{1+cos2x}{2}$，
=$\frac{1}{2}$（b-a）cos2x+$\frac{1}{2}$（a+b），
函数f（x）的值域为[1，3]，（a＞b）
$\frac{1}{2}$（b-a）+$\frac{1}{2}$（a+b）=1，
-$\frac{1}{2}$（b-a）+$\frac{1}{2}$（a+b）=3，
解得：a=3，b=1，
∴f（x）=-cos2x+2，
T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
f（x）的最小正周期π；
（2）函数在区间[-π，π]上的大致图象如图．

点评 本题考查降幂公式，求函数解析式，采用函数五点法，绘制函数解析式．