Question

15．过抛物线y²=2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|=4，则线段AB中点M的横坐标为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意知，求出抛物线的参数p，由于直线过焦点，设出AB中点的横坐标m，由中点的坐标公式求出x₁+x₂，利用弦长公式x₁+x₂+p，解方程可得m．

解答 解：由抛物线为y²=2x，
可得p=1．
设A、B两点横坐标分别为x₁，x₂，
设线段AB中点的横坐标为m，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=m，即x₁+x₂=2m，
由|AB|=x₁+x₂+p=2m+1=4，
解得m=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，一般可以由公式：|AB|═$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系，从而简化解题过程．但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．