Question

14．已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≥5-x对?x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）令g（x）=5-x-|x-1|，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=3时，即求解|2x-3|+|x-1|≥2，
①当x≥$\frac{3}{2}$时，不等式即2x-3+x-1≥2，解得x≥2，
②当1＜x＜$\frac{3}{2}$时，不等式即3-2x+x-1≥2，解得x＜0．
③当x≤1时，3-2x+1-x≥2，解得2x≤2，即x≤$\frac{2}{3}$．
∴综上，原不等式解集为{x|x≤$\frac{2}{3}$或x≥2}．
（2）即|2x-a|≥5-x-|x-1|恒成立
令g（x）=5-x-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{6-2x，x≥1}\\{4，x＜1}\end{array}\right.$，
则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，
故函数y=|2x-a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方，
数形结合可得$\frac{a}{2}$≥3，
∴a≥6，即a的范围是[6，+∞）．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．