Question

19．定义在R上的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=lnx-ax，又f（x）=0恰有5个实数根．
（1）当a为常数时，求f（x）的解析式；
（2）当x＞0时，是否存在a，使y=$\frac{f（x）}{{{a^2}{x^2}}}$的恒小于1．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由5个零点得到f（0）=0，再由奇偶性得到另一段上的解析式．
（2）由作商小于1，可以转化为做差小于0，再通过构造新函数，求导，由导函数的正负得到极大值点．即可得到a的范围．

解答 解：（1）∵偶函数f（x），f（x）=0恰有5个实数根，
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，f（-x）=ln（-x）+ax=f（x），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-ax}&{x＞0}\\{0}&{x=0}\\{ln（-x）+ax}&{x＜0}\end{array}\right.$，
（2）由函数f（x）=0恰有5个实数根，则当x＞0时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，解得：x=$\frac{1}{a}$，
∴f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{e}$，
由y=$\frac{f（x）}{{{a^2}{x^2}}}$的恒小于1，则g（x）=f（x）-a²x²=lnx-ax-a²x²≤0恒成立，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-a-2a²x=$\frac{1-ax-2{a}^{2}x}{x}$=$\frac{（1-2ax）（1+ax）}{x}$
则x=$\frac{1}{2a}$是函数的极大值点，
∴g（$\frac{1}{2a}$）=-ln2a-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$≤0，得a＞$\frac{{e}^{-\frac{3}{4}}}{2}$，
综上$\frac{{e}^{-\frac{3}{4}}}{2}$＜a＜$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查求解析式，由5个零点得到f（0）=0，再由奇偶性得到另一段上的解析式．以及函数关系的转化，由作商小于1，可以转化为做差小于0，再通过构造新函数，求导，由导函数的正负得到极大值点．即可得到a的范围．