Question

10．正项数列{a_n}前n项和为S_n，且$a_n^2=4{S_n}-2{a_n}-1$（n∈N₊）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{{4{{（-1）}^{n+1}}{a_{n+1}}}}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+1）}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_2n-1＞1＞T_2n（n∈N₊）．

Answer 1

分析 （1）在$a_n^2=4{S_n}-2{a_n}-1$中令n=1可知a₁=1；当n≥2时，利用$a_n^2=4{S_n}-2{a_n}-1$与$a_{n-1}^2=4{S_{n-1}}-2{a_{n-1}}-1$作差，整理可知a_n-a_n-1=2，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项，分奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 （1）解：依题意，当n=1时，a₁=1；
当n≥2时，因为a_n＞0，$a_n^2=4{S_n}-2{a_n}-1$，
所以$a_{n-1}^2=4{S_{n-1}}-2{a_{n-1}}-1$，
两式相减，整理得：a_n-a_n-1=2，
所以数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
所以a_n=2n-1；
（2）证明：由（1）可知${b_n}=\frac{{4{{（-1）}^{n+1}}{a_{n+1}}}}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+1）}}=\frac{{{{（-1）}^{n+1}}（2n+1）}}{n（n+1）}={（-1）^{n+1}}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，
所以${T_{2n-1}}=（1+\frac{1}{2}）-（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}）=1+\frac{1}{2n}＞1$，
${T_{2n}}=（1+\frac{1}{2}）-（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）+…-（\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}）=1-\frac{1}{2n+1}＜1$，
所以T_2n-1＞1＞T_2n（n∈N₊）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．