Question

3．已知点（x，y）是区域$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y≤2n}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，（n∈N^*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z_n．若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且点（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）根据线性规划原理，可得z的最大值z_n=2n，从而得到S_n=2n-a_n．运用数列前n项和S_n与a_n的关系，算出2a_n=a_n-1+2，由此代入数列{a_n-2}再化简整理，即可得到{a_n-2}是以-1为首项，公比q=$\frac{1}{2}$的等比数列；
（II）由（I）结合等比数列通项公式，得出a_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1，从而得到S_n=2n-2+（$\frac{1}{2}$）^n-1，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可算出{S_n}的前n项和T_n的表达式．

解答 解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线：z=x+y，
区域$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y≤2n}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，（n∈N^*），表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，
∴当x=2n，y=0时，z的最大值z_n=2n
∵（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上
∴z_n=S_n+a_n，可得S_n=2n-a_n，
当n≥2时，可得a_n=S_n-S_n-1=（2n-a_n）-[2（n-1）-a_n-1]
化简整理，得2a_n=a_n-1+2
因此，a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1+2）-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2）
当n=1时，a_n-2=a₁-2=-1
∴数列{a_n-2}是以-1为首项，公比q=$\frac{1}{2}$的等比数列，
得a_n-2=-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴a_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（II）b_n=na_n，b_n=2n-n（$\frac{1}{2}$）^n-1；
设：An=n（$\frac{1}{2}$）^n-1，前n项和Mn，
Mn=1×${（\frac{1}{2}）}^{0}$+2×$（{\frac{1}{2}）}^{1}$+3$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+n（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$Mn=1×$\frac{1}{2}$+2×$（\frac{1}{2}）^{2}$+3×$（\frac{1}{2}）^{3}$+…+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减：$\frac{1}{2}$Mn=1+$\frac{1}{2}$+$（\frac{1}{2}）^{2}$+$（\frac{1}{2}）^{3}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴Mn=4-（n+2）×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$-4+（n+2）×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
=n²+n-4+（n+2）×（$\frac{1}{2}$）^n-1．
Mn=n²+n-4+（n+2）×（$\frac{1}{2}$）^n-1．

点评 本题给出数列和线性规划相综合的问题，求数列的通项和前n项和，着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，数列的求和与简单线性规划等知识，属于中档题．