Question

15．已知正项数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），求b_n的最小值及此时n的值．

Answer 1

分析 （I）由正项数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$．两边取倒数，利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）数列{b_n}满足b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），可得b_n=$2n（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）∵正项数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{3}+\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$．
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项与公差都为$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}+\frac{2}{3}$（n-1），
解得a_n=$\frac{3}{2n}$．
（II）∵数列{b_n}满足b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∴b_n=$2n（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
可知：数列{b_n}单调递增，
∴当n=1时，b_n取得最小值，b₁=0．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．