Question

5．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布，并求出P（5≤ξ≤25）的值．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数，该顾客中奖的对立事件是某顾客从6张没有奖奖券中任抽2张，由此利用对立事件概率计算公式能求出该顾客中奖的概率．
（2）由题意得X的所有可能取值为0，10，20，50，60（元），分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和P（5≤X≤25）．

解答 解：（1）∵某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；
其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，
∴基本事件总数为n=${C}_{10}^{2}$=45，
该顾客中奖的对立事件是某顾客从6张没有奖奖券中任抽2张，
∴该顾客中奖的概率p=$1-\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由题意得X的所有可能取值为0，10，20，50，60（元），
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=10）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（X=20）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=50）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=60）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
故X的分布列：

X	0	10	20	50	60
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

∴P（5≤X≤25）=P（X=10）+P（X=20）=$\frac{2}{5}+\frac{1}{15}$=$\frac{7}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．