Question

13．已知定义在R上的函数f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），且f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）+f（2009）=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 根据条件求出函数的周期，利用函数的周期性将条件进行转化求解即可．

解答 解：由f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），得f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
则f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=-[f（x）]=f（x），
则函数f（x）是周期为3的周期函数，
∵f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，
∴f（-2+3）=f（-1+3）=-1，
即f（1）=f（2）=-1，f（3）=2，
则f（1）+f（2）+f（3）=-1-1+2=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）+f（2009）=669×[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2008）+f（2009）
=f（2008）+f（2009）=f（1）+f（2）=-1-1=-2，
故选：A

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数的周期，利用函数的周期性进行转化是解决本题的关键．