Question

3．用n（n∈N^*）种不同颜色给如图的4个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色．
（1）当n=6时，图（1）、图（2）各有多少种涂色方案？（要求：列式或简述理由，结果用数字作答）；
（2）若图（3）有180种涂色法，求n的值．

Answer 1

分析 （1）如图（1）据题意，分四个步骤来完成，由乘法原理计算可得答案．
图（2）分两类，若A，C相同，若A，C不同，根据分类计数原理可得．
（2）A有n种方法，B有n-1种方法，C有n-2种方法，D有n-2种方法，共有涂色方法n（n-1）（n-2）（n-2）=180，计算可得答案．

解答 解：（1）当n=6时，图（1）A有6种方法，B有5种方法，C有4种方法，D有5种方法，共有涂色方法6×5×4×5=600种
图（2）若A，C相同，则A有6种方法，B有5种方法，D有4种方法，共有6×5×4=120种
若A，C不同，则A有6种方法，B有5种方法，C有4种方法，D有3种方法，共有6×5×4×3=360种
∴共有涂色方法120+360=480种．
（2）A有n种方法，B有n-1种方法，C有n-2种方法，D有n-2种方法，共有涂色方法n（n-1）（n-2）（n-2）种
 由n（n-1）（n-2）（n-2）=180
解得n=5

点评 本题考查涂色问题，是排列、组合的典型题目，一般涉及分类加法原理与分步乘法原理，注意认真分析题意，把握好限制条件．