Question

14．（Ⅰ）设z=1+i（i是虚数单位），求$\frac{2}{z}$+z²的值；
（Ⅱ）设x，y∈R，复数z=x+yi，且满足|z|²+（z+$\overline{z}$）i=$\frac{3-i}{2+i}$，试求x，y的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把z=1+i，代入$\frac{2}{z}$+z²，然后由复数代数形式的乘除运算化简得答案；
（Ⅱ）把Z=x+yi代入|z|²+（z+$\overline{z}$）i=$\frac{3-i}{2+i}$，整理后利用复数相等的条件列式求解x，y的值，则答案可求．

解答 解：（Ⅰ）由z=1+i（i是虚数单位），
则$\frac{2}{z}$+z²=$\frac{2}{1+i}+（1+i）^{2}=\frac{2（1-i）}{（1+i）（1-i）}+2i$=1-i+2i=1+i；
（Ⅱ）把z=x+yi代入|z|²+（z+$\overline{z}$）i=$\frac{3-i}{2+i}$，
得${x}^{2}+{y}^{2}+2xi=\frac{（3-i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}=1-i$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{2x=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了复数的基本概念，是基础题．