Question

9．给出下列命题：
①函数y=cos（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是奇函数；
②在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，则△ABC为钝角三角形；
③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；
④$x=\frac{π}{8}$是函数$y=sin（{2x+\frac{5π}{4}}）$的一条对称轴；
⑤函数$y=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）成中心对称．
其中正确命题的序号为①②④．

Answer 1

分析 ①根据三角函数的诱导公式以及函数奇偶性的定义进行判断，
②根据平面向量数量积的应用进行判断，
③根据象限角和正切值的关系进行判断，
④根据三角函数的对称性进行判断，
⑤根据三角函数的对称性进行判断．

解答 解：①函数y=cos（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{2}{3}$x是奇函数，故①正确；
②在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，则AB•BCcos（π-B）=-AB•BCcosB＞0，则cosB＜0，则B是钝角，则△ABC为钝角三角形；故②正确，
③若α，β是第一象限角，当α=$\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{4}$+2π，满足α＜β，但tanα=tanβ；故③错误，
④由2x+$\frac{5π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
则当k=1时，$x=\frac{π}{8}$，则$x=\frac{π}{8}$是函数$y=sin（{2x+\frac{5π}{4}}）$的一条对称轴，故④正确；
⑤由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，则x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，则函数的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），
由$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{12}$得k=$\frac{1}{2}$不是整数，不满足条件．故函数$y=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）成中心对称错误，故⑤错误，
故答案为：①②④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，综合性较强，考查学生的运算和推理能力，难度不大．