Question

18．如图，扇形AOB是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB的大小等于$\frac{π}{3}$，半径OA=200m，点M在半径OA上，点N在$\widehat{AB}$上，且MN∥OB，求观光道路OM与MN长度之和的最大值．

Answer 1

分析 连接ON，设∠MON=θ，则0＜θ＜$\frac{π}{3}$，在△MON中由正弦定理可得MN=$\frac{400}{\sqrt{3}}$sin θ，OM=$\frac{400}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），化简MN+OM由三角函数的最值可得．

解答 解：连接ON，设∠MON=θ，则0＜θ＜$\frac{π}{3}$，
在△MON中，ON=200，∠OMN=$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{200}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{MN}{sinθ}$=$\frac{OM}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$，
∴MN=$\frac{400}{\sqrt{3}}$sinθ，OM=$\frac{400}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），
∴MN+OM=$\frac{400}{\sqrt{3}}$[sin θ+sin（$\frac{π}{3}$-θ）]
=$\frac{400}{\sqrt{3}}$（ sin θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos θ-$\frac{1}{2}$sin θ）=$\frac{400}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$+θ），
∵0＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$+θ＜$\frac{2π}{3}$，
∴当θ=$\frac{π}{6}$时，sin（$\frac{π}{3}$+θ）=1 最大，MN+OM最大，
其最大值是$\frac{400}{3}$$\sqrt{3}$m．

点评 本题考查弧度制和正弦定理以及三角函数的最值，属中档题．