Question

19．设椭圆C的两个焦点为F₁、F₂，过点F₁的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF₂|=|F₁F₂|，且|MF₁|=2，|NF₁|=1，则椭圆C的离心率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．直线MN的方程为：my=x+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．2+2c=2a，$\frac{\sqrt{4{c}^{2}-1}}{1}$=$\frac{1}{m}$，直线方程与椭圆方程联立化为：（b²m²+a²）y²-2b²mcy-b⁴=0，利用根与系数的关系及其y₁=-2y₂，化简解出a，c，即可得出．

解答 解：设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．直线MN的方程为：my=x+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
2+2c=2a，$\frac{\sqrt{4{c}^{2}-1}}{1}$=$\frac{1}{m}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（b²m²+a²）y²-2b²mcy-b⁴=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2{b}^{2}mc}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-{b}^{4}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，y₁=-2y₂，
化为：8m²c²=b²m²+a²，与$\frac{\sqrt{4{c}^{2}-1}}{1}$=$\frac{1}{m}$，b²=a²-c²，2+2c=2a联立解得：a=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{1}{2}$．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．