Question

13．先将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，然后再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，最后再将所得图象向上平移1个单位，得到函数y=sinx的图象．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于点M（$\frac{π}{4}$，2）对称，求函数y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（Ⅱ）由条件利用两个函数的图象关于某个点对称的性质，正弦函数的定义域和值域，求得函数y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值和最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，把函数y=sinx的图象向下平移1个单位得y=sinx-1的图象，
然后再将y=sinx-1图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，得到y=sin2x-1的图象，
最后将函数y=sin2x-1的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得y=sin2（x-$\frac{π}{6}$）-1的图象，
所以函数y=f（x）的表达式是y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1．
（Ⅱ）设函数y=f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1图象任意一点为P（m，n），点P（m，n）关于点M（$\frac{π}{4}$，2）对称点为Q（x，y），
由于函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于点M（$\frac{π}{4}$，2）对称，点Q（x，y）是函数y=g（x）图象上的点．
由中点坐标公式可得m+x=$\frac{π}{2}$且 n+y=4，即 m=$\frac{π}{2}$-x且 n=4-y．
由点P（m，n）在函数 y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1的图象上，可得n=sin（2m-$\frac{π}{3}$）-1，即有4-y=sin[2（$\frac{π}{2}$-x）-$\frac{π}{3}$）]-1，
化简得y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5，所以函数y=g（x）的解析式为y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5．
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以y=g（x）=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5，根据2x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+5∈[4，5+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
函数y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值和最大值分别为4和5+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，两个函数的图象关于某个点对称的性质，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．