Question

12．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，设停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P（x≤$\sqrt{6}$）=$\frac{23}{28}$，E（x）=$\frac{5}{4}$，V（x）=$\frac{27}{16}$．

Answer 1

分析 X=k表示前k个球为白球，第k+1个恰为红球，由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列，从而能求出结果．

解答 解：X=k表示前k个球为白球，第k+1个恰为红球，
P（X=0）=$\frac{{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{1}}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=1）=$\frac{{A}_{5}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=2）=$\frac{{A}_{5}^{2}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{3}}$=$\frac{10}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{5}^{3}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{4}}$=$\frac{6}{56}$，
P（X=4）=$\frac{{A}_{5}^{4}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{5}}$=$\frac{3}{56}$，
P（X=5）=$\frac{{A}_{5}^{5}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{6}}$=$\frac{1}{56}$，
∴ξ的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{10}{56}$	$\frac{6}{56}$	$\frac{3}{56}$	$\frac{1}{56}$

P（X$≤\sqrt{6}$）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）
=$\frac{3}{8}$+$\frac{15}{56}$+$\frac{10}{56}$=$\frac{23}{28}$．
E（X）=$0×\frac{3}{8}+1×\frac{15}{56}+2×\frac{10}{56}+3×\frac{6}{56}+4×\frac{3}{56}$+5×$\frac{1}{56}$=$\frac{5}{4}$．
V（X）=（0-$\frac{5}{4}$）²×$\frac{3}{8}$+（1-$\frac{5}{4}$）²×$\frac{15}{56}$+（2-$\frac{5}{4}$）²×$\frac{10}{56}$+$（3-\frac{5}{4}）^{2}×\frac{6}{56}$+（4-$\frac{5}{4}$）²×$\frac{3}{56}$+（5-$\frac{5}{4}$）²×$\frac{1}{56}$=$\frac{27}{16}$．
故答案为：$\frac{23}{28}$，$\frac{5}{4}$，$\frac{27}{16}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．