Question

20．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x²+x+c=0的两个实根，且0≤c≤$\frac{1}{8}$，则这两条直线之间的距离的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意和韦达定理可得a+b=-1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d²=$\frac{（a-b）^{2}}{2}$=$\frac{（a+b）^{2}-4ab}{2}$=$\frac{1-4c}{2}$，由0≤c≤$\frac{1}{8}$和不等式的性质可得．

解答 解：∵a，b是方程x²+x+c=0的两个实根，
∴由韦达定理可得a+b=-1，ab=c，
∴两平行线间的距离d=$\frac{|a-b|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$，
故d²=$\frac{（a-b）^{2}}{2}$=$\frac{（a+b）^{2}-4ab}{2}$=$\frac{1-4c}{2}$，
∵0≤c≤$\frac{1}{8}$，∴0≤4c≤$\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{2}$≤-4c≤0，
∴$\frac{1}{2}$≤1-4c≤1，∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1-4c}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$≤d²≤$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≤d≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

点评 本题考查两平行线间的距离公式，涉及韦达定理和不等式的性质，属中档题．