Question

10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（α，sinB+sinC），$\overrightarrow{n}$=（sinA，b-c）且$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=bsinA
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求a+2b的最大值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=bsinA，利用数量积运算及其正弦定理、余弦定理即可得出，
（2）由余弦定理3²=a²+c²-ac，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=asinA+（sinB+sinC）（b-c）=bsinA，
即：由正弦定理可知，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
a²+（b+c）（b-c）=ba，
整理得：c²=a²+b²-ab，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
cosC=$\frac{1}{2}$，
C=$\frac{π}{3}$；
（2）3=c²=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
∴ab≤3，
a+2b≤2$\sqrt{a•2b}$=2$\sqrt{6}$，
当且仅当a=2b=$\sqrt{6}$，
故a+2b的最大值2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、基本不等式的性质、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．