Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=2+（-$\frac{1}{3}$）^n-1，若对任意的n∈N^*，都有1≤p（S_n-2n）≤3，则实数p的取值范围是$[\frac{3}{2}，3]$．

Answer 1

分析 通过a_n=2+（-$\frac{1}{3}$）^n-1，利用等差数列、等比数列的求和公式计算可知S_n-2n=$\frac{3}{4}$[1-$（-\frac{1}{3}）^{n}$]，进而可知1≤$\frac{1}{{S}_{n}-2n}$≤$\frac{3}{2}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n=2+（-$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴S_n=2n+$\frac{1-（-\frac{1}{3}）^{n}}{1-（-\frac{1}{3}）}$=2n+$\frac{3}{4}$[1-$（-\frac{1}{3}）^{n}$]，
∵S_n-2n=$\frac{3}{4}$[1-$（-\frac{1}{3}）^{n}$]，
∴S₁-2=1，S₂-4=$\frac{2}{3}$，$\underset{lim}{n→∞}$（S_n-2n）=$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{2}{3}$≤S_n-2n≤1，
∴1≤$\frac{1}{{S}_{n}-2n}$≤$\frac{3}{2}$，
又∵对任意的n∈N^*，都有1≤p（S_n-2n）≤3，
∴对任意的n∈N^*，都有$\frac{1}{{S}_{n}-2n}$≤p≤$\frac{3}{{S}_{n}-2n}$，
∴p∈$[\frac{3}{2}，3]$，
故答案为：$[\frac{3}{2}，3]$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．