【题目】如图,三棱柱中,侧棱
平面
,
为等腰直角三角形,
,且
,
分别是
的中点.
(1)若是
的中点,求证:
平面
;
(2)若是线段
上的任意一点,求直线
与平面
所成角正弦的最大值.
【答案】(1)见解析(2) 当时,
.
【解析】试题分析:
本题考查线面平行的判定和利用空间向量求直线和平面所成的角.(1)先证和
,从而得到平面
平面
,故可得
平面
.(2)建立空间直角坐标系,求得平面
的一个法向量为
.设设
,且
,求得点M的坐标后可得
.利用线面角的公式得到所求线面角的正弦值,根据二次函数的最值求解.
试题解析:
(1)连接,
,
∵分别是
的中点,
∴,
∴四边形是平行四边形,
所以.
因为分别是
的中点,
所以,
又,
所以平面平面
,
又平面
,
所以平面
.
(2)由题意得两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
∴,
.
设平面的法向量为
,
由,得
,
令,得
,
,
所以平面的一个法向量为
.
设,且
,
所以,得
,
,
,
所以点,
所以.
设直线与平面
所成角为
,
则
∴当时,
.
所以直线与平面
所成角正弦的最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数 (m、n为常数,e = 2.718 28…是自然对数的底数),曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程是
.
(Ⅰ)求m、n的值;
(Ⅱ)求f (x)的最大值;
(Ⅲ)设 (其中
为f (x)的导函数),证明:对任意x > 0,都有
.
(注: )
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
,
,直线
交椭圆
于
,
两点,
的周长为16,
的周长为12.
(1)求椭圆的标准方程与离心率;
(2)若直线与椭圆
交于
两点,且
是线段
的中点,求直线
的一般方程.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ-2cos θ-6sin θ+=0,直线l的参数方程为
(t为参数).
(1)求曲线C的普通方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,点P的坐标为(3,3),求|PA|+|PB|的值.
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【题目】如图,已知是直角梯形,
,
,
,
,
平面
.
(Ⅰ)上是否存在点
使
平面
,若存在,指出
的位置并证明,若不存在,请说明理由;(Ⅱ)证明:
;
(Ⅲ)若,求点
到平面
的距离.
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
,
,直线
交椭圆
于
,
两点,
的周长为16,
的周长为12.
(1)求椭圆的标准方程与离心率;
(2)若直线与椭圆
交于
两点,且
是线段
的中点,求直线
的一般方程.
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【题目】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1+2p(n∈N*).
(1)求p的值及数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足=(3+p)anbn,求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】(2018·日照一模)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,给出下列结论:
①A、M、O三点共线;②A、M、O、A1不共面;③A、M、C、O共面;④B、B1、O、M共面.
其中正确结论的序号为________.
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