Question

【题目】已知长方体中, 为的中点,如图所示.

(1) 证明: 平面;

(2) 求平面与平面所成锐二面角的大小的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) .

【解析】试题分析：

(1)连接交于,易知,可得平面；

(2) 平面即是平面,过平面上点作的垂线于,过点作直线的垂线于,连接,证明即是平面与平面所成锐二面角的平面角,求解易得结果；

向量法:(1) 以所在直线分别为轴,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,证明，则可得结论；

(2)求出平面的一个法向量,再利用向量的夹角公式求解即可.

试题解析：

(1)连接交于,因为在长方体中,所以

为的中点,又为的中点

所以在中是中位线,所以,

又平面平面,

所以平面;

(2)因为在长方体中,所以,

平面即是平面,过平面上

点作的垂线于,如平面图①,

平面图①

因为在长方体中, 平面平面,

所以, ,所以平面于.

过点作直线的垂线于,如平面图②,

平面图②

连接,由三垂线定理可知, .

由二面角的平面角定义可知,在中,

即是平面与平面所成锐二面角的平面角.

因长方体中, ,在平面图①中,

,

,

在平面图②中,由相似可知,

所以=2,

,

所以平面与平面所成锐二面角的大小的余弦值为.