【题目】已知长方体中, 为的中点,如图所示.
(1) 证明: 平面;
(2) 求平面与平面所成锐二面角的大小的余弦值.
【答案】(1)见解析(2) .
【解析】试题分析:
(1)连接交于,易知,可得平面;
(2) 平面即是平面,过平面上点作的垂线于,过点作直线的垂线于,连接,证明即是平面与平面所成锐二面角的平面角,求解易得结果;
向量法:(1) 以所在直线分别为轴,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,证明,则可得结论;
(2)求出平面的一个法向量,再利用向量的夹角公式求解即可.
试题解析:
(1)连接交于,因为在长方体中,所以
为的中点,又为的中点
所以在中是中位线,所以,
又平面平面,
所以平面;
(2)因为在长方体中,所以,
平面即是平面,过平面上
点作的垂线于,如平面图①,
平面图①
因为在长方体中, 平面平面,
所以, ,所以平面于.
过点作直线的垂线于,如平面图②,
平面图②
连接,由三垂线定理可知, .
由二面角的平面角定义可知,在中,
即是平面与平面所成锐二面角的平面角.
因长方体中, ,在平面图①中,
,
,
在平面图②中,由相似可知,
所以=2,
,
所以平面与平面所成锐二面角的大小的余弦值为.
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【题目】已知函数,无穷数列满足 ,
(Ⅰ)若 ,求, , ;
(Ⅱ)若 ,且, , 成等比数列,求的值;
(Ⅲ)是否存在 ,使得 成等差数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
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【题目】如图,三棱柱中,侧棱平面, 为等腰直角三角形, ,且, 分别是的中点.
(1)若是的中点,求证: 平面;
(2)若是线段上的任意一点,求直线与平面所成角正弦的最大值.
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【题目】函数,其中.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)已知当 (其中是自然对数的底数)时,在上至少存在一点,使成立,求的取值范围;
(3)求证:当时,对任意,有.
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【题目】已知抛物线的焦点为, 直线过点.
(Ⅰ)若点到直线的距离为, 求直线的斜率;
(Ⅱ)设为抛物线上两点, 且不与轴垂直, 若线段的垂直平分线恰过点, 求证: 线段中点的横坐标为定值.
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【题目】某市拟招商引资兴建一化工园区,新闻媒体对此进行了问卷调查,在所有参与调查的市民中,持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示:
支持 | 保留 | 不支持 | |
30岁以下 | 900 | 120 | 280 |
30岁以上(含30岁) | 300 | 260 | 140 |
(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研(不同态度的群体中亦按年龄分层抽样),已知从“保留”态度的人中抽取了19人,则在“支持”态度的群体中,年龄在30岁以上的人有多少人被抽取;
(Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研,将此6人看作一个总体,在这6人中任意选取2人,求至少有1人在30岁以上的概率.
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