Question

【题目】函数,其中.

(1)试讨论函数的单调性;

(2)已知当 (其中是自然对数的底数)时,在上至少存在一点,使成立,求的取值范围;

(3)求证:当时,对任意,有.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) (3)见解析

【解析】试题分析：

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值最值，导数的综合应用．(1)易知的定义域为，通过讨论导数的正负解答．

(2)在上至少存在一点，使成立，等价于当时， ．通过单调性求出最大值，然后解答．(3)构造辅助函数，并求导得=，然后利用单调性解答．

试题解析：

(1)易知的定义域为．

∵，

∴=．

由得: 或．

∵，

∴．

①当时，

则单调递增；当单调递减； 单调递增．

②当时，

则当单调递增；当单调递减；当单调递增．

③当时， 单调递增．

综上，当时， 在和上单调递增，在上单调递减；

当时， 在和上单调递增，在上单调递减；

当时， 在上单调递增．

(2)在上至少存在一点，使成立，等价于当时， ．

∵，

∴．

由(1)知， 时， 单调递增，当时， 单调递减．

∴当时， ．

∴

解得．满足．

所以实数的取值范围是．

(3)当时， ．

设，

则．

故当时， 单调递减．

∴对任意，都有成立，

∴．

即．

又，

∴．