Question

【题目】设 .

（1）若直线与和和图象均相切，求直线的方程；

（2）是否存在使得按某种顺序组成等差数列？若存在，这样的有几个？若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，有且只有一个.

【解析】试题分析：（1）设切线为，代入中化简得，则，设切点，则切线为： ，然后可求出，进而求出直线的方程；（2）由（1）可知， 与的图象分居直线的上下两侧，则，故而，结合题设条件，构造，由导数得出的单调性，进而可得出结论.

试题解析：（1）设切线为，代入中化简得，则

设与的切点为，则切线为：

整理得

∴，

∴

∴，则，

∴直线的方程为

（2）由（1）可知， 与的图象分居直线的上下两侧，则

∴

假设存在，使得按某种顺序组成等差数列，则必有， ， 成等差数列，即

设，则

∴在上单调递增

∵，

∴有且仅有一个，使得成立

∴存在，使得按某种顺序组成等差数列，并且这样的有且仅有1个