【题目】如图,已知是直角梯形, , , , , 平面.
(Ⅰ)上是否存在点使平面,若存在,指出的位置并证明,若不存在,请说明理由;(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)若,求点到平面的距离.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)当为中点时满足题意,理由如下:
取的中点为,连结.由题意结合几何关系可证得平面平面.理由面面平行的性质定理可得平面.
(Ⅱ)由题意结合勾股定理可得.理由几何关系有.据此可得平面,则.
(Ⅲ)由题意可得: .且,理由体积相等转化顶点可得到平面的距离为.
试题解析:
(Ⅰ)当为中点时满足题意
理由如下:
取的中点为,连结.
∵, ,
∴,且,
∴四边形是平行四边形,
即.
∵平面,
∴平面.
∵分别是的中点,∴,
∵平面,
∴平面.
∵,
∴平面平面.
∵平面,
∴平面.
(Ⅱ)由已知易得, .
∵,
∴,即.
又∵平面, 平面,
∴.
∵,
∴平面
∵平面,
∴.
(Ⅲ)由已知得,所以.
又,则,由得,
∵,
∴到平面的距离为.
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【题目】在直角坐标系中,设倾斜角为的直线的参数方程为(为参数)与曲线(为参数)相交于不同的两点、.
(1)若,求线段的中点的直角坐标;
(2)若直线的斜率为,且过已知点,求的值.
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【题目】已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
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【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区的年平均浓度不得超过3S微克/立方米, 的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某市环保局随机抽取了一居民区2016年20天的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如图表:
组别 | 浓度(微克/立方米) | 频数(天) | 频率 |
第一组 | 3 | 0.15 | |
第二组 | 12 | 0.6 | |
第三组 | 3 | 0.15 | |
第四组 | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)将这20天的测量结果按表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.
(ⅰ)求图中的值;
(ⅱ)在频率分布直方图中估算样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从的年平均度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
(Ⅱ)将频率视为概率,对于2016年的某3天,记这3天中该居民区的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为,求的分布列和数学期望.
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【题目】如图,三棱柱中,侧棱平面, 为等腰直角三角形, ,且, 分别是的中点.
(1)若是的中点,求证: 平面;
(2)若是线段上的任意一点,求直线与平面所成角正弦的最大值.
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【题目】若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是( )
A. (-∞,0) B. (0,1)
C. D. (0,+∞)
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