Question

已知圆满足：
①截y轴所得弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为.
求在满足条件①②的所有圆中，使代数式取得最小值时，圆的方程．

Answer 1

，或

解析试题分析：由①②，根据直线与圆相交时，半径、半弦与弦心距的关系，得到参数的关系式，从而可把代数式化成关于或的一元二次函数，求出这个二次函数的最值及取得最值时相对应的的值，最后确定圆的方程.
试题解析：如下图所示，圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.

∵圆P被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，
∴.
取AB的中点D，连接PD，
则有，∴.
取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE.
∵圆截y轴所得弦长为2，
∴，∴，
即.
则＝.
∴当b＝1时，取得最小值2，
此时a＝1，或a＝－1，r²＝2.
对应的圆为：，
或.
∴使代数式取得最小值时，对应的圆为
，或.
考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、一元二次函数的最值.