Question

已知圆的方程为，直线，设点．
（1）若点在圆外，试判断直线与圆的位置关系；
（2）若点在圆上，且，，过点作直线分别交圆于两点，且直线和的斜率互为相反数；
① 若直线过点，求的值；
② 试问：不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）直线与圆相交；
（2）①；②不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率总为定值

解析试题分析：（1）先由点A在园外得出，再利用点到直线距离公式求出圆O圆心O到直线的距离与半径比较即可判定出直线与圆O的位置关系；（2）①由直线斜率公式求出直线AM的斜率，再由直线和的斜率互为相反数，知直线和的倾斜角互补，将角AMN用直线AM的倾斜角表示出来，利用诱导公式及二倍角公式即可求出；②设直线AM的斜率为k，写出直线AM方程，与圆O联立求出M点坐标，由题知AN的斜率为-k，同理求出M的坐标，利用斜率公式求出直线MN斜率，化简可知是否为定值.
试题解析：（1）当点在圆外时，得，即
∴圆心到直线的距离，
∴ 直线与圆相交．                            5分
（2）①由点在圆上，且，，得，即．
记直线的倾斜角为，则，                   7分
又∵，  ∴ 直线的倾斜角为，
∴．    10分
②记直线的斜率为，则直线的方程为：．
将代入圆的方程得：，
化简得：，
∵是方程的一个根，  ∴，  ∴，
由题意知：，同理可得，，             13分
∴，
∴，
∴ 不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率总为定值．         16分
考点：点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；直线方程；直线的斜率公式；运算求解能力