【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求函数
的极值;
(Ⅱ)当时,讨论函数
单调性;
(Ⅲ)是否存在实数,对任意的
,
,且
,有
恒成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ);
; (Ⅱ)见解析;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)当时,
,求函数的导数,并且求
的
值,判断两侧的单调性,求极值;(Ⅱ)当
时,
,讨论两根
和
的大小关系,从而得到函数的单调区间;(Ⅲ)设
,将不等式整理为
,即说明函数
是单调递增函数,即
恒成立,求
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)当时,
,
.
当或
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减,
所以时,
;
时,
.
(Ⅱ)当时,
,
①当,即
时,由
可得
或
,此时
单调递增;由
可得
,此时
单调递减;
②当,即
时,
在
上恒成立,此时
单调递增;
③当,即
时,由
可得
或
,此时
单调递增;由
可得
,此时
单调递减.
综上:当时,
增区间为
,
,减区间为
;
当时,
增区间为
,无减区间;
当时,
增区间为
,
,减区间为
.
(Ⅲ)假设存在实数,对任意的
,
,且
,有
恒成立,
不妨设,则由
恒成立可得:
恒成立,
令,则
在
上单调递增,所以
恒成立,
即恒成立,
∴,即
恒成立,又
,
∴在
时恒成立,
∴,
∴当时,对任意的
,
,且
,有
恒成立.
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【题目】某校高三文科500名学生参加了5月份的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况,利用随机数表法从中抽取100名学生的成绩进行统计分析,抽出的100名学生的数学、语文成绩如下表:
(1)将学生编号为:001,002,003,……,499,500.若从第5行第5列的数开始右读,请你依次写出最先抽出的5个人的编号(下面是摘自随机数表的第4行至第7行)
(2)若数学的优秀率为,求
的值;
(3)在语文成绩为良好的学生中,已知,求数学成绩“优”比“良”的人数少的概率.
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【题目】【2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试文数】已知过的动圆恒与
轴相切,设切点为
是该圆的直径.
(Ⅰ)求点轨迹
的方程;
(Ⅱ)当不在y轴上时,设直线
与曲线
交于另一点
,该曲线在
处的切线与直线
交于
点.求证:
恒为直角三角形.
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【题目】对一批底部周长属于[80,130](单位:cm)的树木进行研究,从中随机抽出200株树木并测出其底部周长,得到频率分布直方图如图所示,由此估计,这批树木的底部周长的众数是cm,中位数是cm,平均数是cm.
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【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本,并称出它们的重量(单位:克),重量值落在内的产品为合格品,否则为不合格品,统计结果如表:
(Ⅰ)求甲流水线样本合格的频率;
(Ⅱ)从乙流水线上重量值落在内的产品中任取2个产品,求这2件产品中恰好只有一件合格的概率.
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【题目】已知中,角
,
,
所对的边分别是
,
,
,且点
,
,动点
满足
(
为常数且
),动点
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)试求曲线的方程;
(Ⅱ)当时,过定点
的直线与曲线
交于
,
两点,
是曲线
上不同于
,
的动点,试求
面积的最大值.
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【题目】如图,半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动,每分钟转动4圈,水轮圆心O距离水面2m,如果当水轮上点P从离开水面的时刻(P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度y(m)与时间t(s)满足的函数关系;
(2)求点P第一次到达最高点需要的时间.
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【题目】已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.
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