Question

（2012•莆田模拟）设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=2，S₄=4，等式a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设

u

=（4，S₂），

v

=（4k，-S₃），若

u

∥

v

，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）利用等式a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*恒成立，确定数列{a_n}是等差数列，设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由a₂=2，S₄=4，建立方程组，从而可求数列的通项；
（2）由（1）知Sn=

4+(-2n+6)

2

×n=-n2+5n，利用

u

∥

v

建立等式，即可求得结论．

解答：解：（1）∵等式a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*恒成立
∴数列{a_n}是等差数列
设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d
∵a₂=2，S₄=4
∴

a1+d=2 4a1+6d=4

∴

a1=4 d=-2

∴a_n=4+（n-1）×（-2）=-2n+6；
（2）由（1）知Sn=

4+(-2n+6)

2

×n=-n2+5n
∴S₂=6，S₃=6
∴

u

=(4，6)，

v

=(4k，-6)
∵

u

∥

v

∴4×6+6×4k=0
∴k=-1．

点评：本题考查等差数列的判定，考查等差数列的通项与求和，考查向量知识的运用，求得数列的通项是关键．