Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是正方形，AB=AC，BC=

2

AB，B₁C₁∥BC且B1C1=

1

2

BC，二面角A₁-AB-C是直二面角
（1）求证：A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）求证：AB₁∥平面A₁C₁C．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据勾股定理的逆定理，可得AB⊥AC，又因为四边形A₁ABB₁是正方形，所以AB⊥AA₁，从而得到AB⊥平面AA₁C，再证AB∥A₁B₁，可得A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）取BC中点D，连接AD，B₁D，C₁D．证明四边形B₁C₁DB是平行四边形，可得C₁D∥B₁B，进而可证AD∥平面A₁C₁C；同理，B₁D∥平面A₁C₁C，利用面面平行的判定，可得平面ADB ₁∥平面A₁C₁C，从而可得AB₁∥平面A₁C₁C

解答： 证明：（1）因为AB=AC，BC=

2

AB
所以AB²+AC²=BC²，所以AB⊥AC．
又因为四边形A₁ABB₁是正方形，所以AB⊥AA₁．
又因为AA₁∩AC=A，所以AB⊥平面AA₁C．
因为四边形A₁ABB₁是正方形，所以AB∥A₁B₁，
所以A₁B₁⊥平面AA₁C
（2）取BC的中点D，连接AD，B₁D，C₁D
因为B₁C₁∥BC且B1C1=

1

2

BC
所以B₁C₁DB是平行四边形，故C₁D₁∥B₁B，且C₁D₁=B₁B
又A₁A∥B₁B且A₁A=B₁B，所以A₁A∥C₁D，且A₁A=C₁D
所以A₁ADC₁是平行四边形
所以A₁C₁∥AD，所以AD∥平面A₁C₁C
同理B₁D∥平面A₁C₁C
又因为B₁D∩AD=D，所以平面ADB₁∥平面A₁C₁C
所以AB₁∥平面A₁C₁C

点评：本题考查线面平行、线面垂直，掌握线面平行、线面垂直的判定方法是关键．