Question

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3且角A，B，C依次成等差数列，
（Ⅰ）若边a，b，c依次成等比数列，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列,解三角形

分析：（Ⅰ）先利用等差中项的定义求出B，利用边a，b，c依次成等比数列，求出ac，再利用三角形面积公式求解；
（Ⅱ）先由正弦定理用角A、B表示出a、b，实现了边向角的转变，进而转化成三角函数求值域问题求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵三内角A、B、C的度数成等差数列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵a、b、c成等比数列，∴b²=ac，
∵b=3，
∴S=

1

2

acsinB=

9 3

4

；
（Ⅱ）根据正弦定理，可得△ABC周长y=a+3+c=2

3

sinA+2

3

sinC+3=6sin（B+30°）+3，
∵0＜B＜120°，
∴

1

2

＜sin（B+30°）≤1，
∴6＜6sin（B+30°）+3≤9，
∴△ABC周长的取值范围为（6，9]．

点评：本题综合考查了数列和三角函数以及解三角形的有关知识，考查了学生的分析能力和运算能力．