Question

经过点F（0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M，过点F且斜率为1的直线l交M于A、B两点，动点Q也在M上，且在A、B之间（不与A或B重合）．
（1）求M的轨迹方程及线段AB的长度|AB|．
（2）求△ABQ的面积S的最大值．

Answer 1

考点：圆锥曲线的轨迹问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设动圆圆心为（x，y），由直线与圆相切可得

x2+(y-1)2

=|y+1|，整理即得轨迹M的方程；
（2）由导数的几何意义得Q点与AB平行的切线的斜率为

1

2

x₀=1，求出Q的坐标，即可求△ABQ的面积S的最大值．

解答： 解：（1）设圆心坐标为（x，y），由题意动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=-1相切，
所以

x2+(y-1)2

=|y+1|，
即（y-1）²+x²=（y+1）²，
即x²=4y．故轨迹M的方程为x²=4y．
直线l的方程为y=x+1，代入x²=4y，可得x²-4x-4=0，
∴|AB|=

2

•

42+4•4

=8．
（2）由（1）得y=

1

4

x²，∴y′=

1

2

x，
设Q（x₀，y₀），由导数的几何意义得Q点与AB平行的切线的斜率为

1

2

x₀=1，
∴x₀=2，∴Q（2，1），
∴Q到AB的距离为

|2-1+1|

2

=

2

，
∴△ABQ的面积S的最大值为

1

2

•8•

2

=4

2

．

点评：本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等．