Question

二次函数y=x²-2x+2与y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）在它们的一个交点处切线互相垂直，则

1

a

+

4

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：先对两个二次函数进行求导，然后设交点坐标，根据它们在一个交点处的切线相互垂直可得到 a+b=，再由用基本不等式可求得最小值．

解答： 解：∵y=x²-2x+2，
∴y'=2x-2
∵y=-x²+ax+b，
∴y'=-2x+a
设交点为（x₀，y₀），
∵它们的一个交点处切线互相垂直，
∴（2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，
2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0
4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，
4x₀²-（4+2a）x₀+4-2b=0  
整理得 2a-1-4+2b=0，
即a+b=

5

2

，
∴

2a

5

+

2b

5

=1，
∵

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）（

2a

5

+

2b

5

）=

2

5

+

8

5

+

8a

5b

+

2b

5a

≥2+2

8a 5b ? 2b 5a

=2+2×

4

5

=

18

5

，
当且仅当时

8a

5b

=

2b

5a

，即b=2a时，等号成立．
故

1

a

+

4

b

的最小值为

18

5

．
故答案为：

18

5

点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用导数的几何意义是解决本题的关键，一定要注意用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”．综合性较强，运算量较大．