Question

已知函数f（x）=

1-a+lnx

x

，a∈R
（I）求f（x）的极值；
（II）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（III）已知x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，求证：x₁+x₂＞x₁x₂．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，再根据导函数的正负判断函数的单调性，进而确定极值．
（2）将问题转化为

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立的问题，然后求函数g(x)=

lnx

x

(x＞0).的最大值，令k大于这个最大值即可．
（3）先判断函数f（x）在（0，e）上的单调性，进而得到x₁，x₂的关系得证．

解答：解：（Ⅰ）∵f/(x)=

a-lnx

x2

，令f^/（x）=0得x=e^a
当x∈（0，e^a），f^/（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（e^a，+∞），f^/（x）＜0，f（x）为减函数，
可知f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立，
设g(x)=

lnx

x

(x＞0).由（Ⅰ）知，g(x)在x=e处取最大值

1

e

，∴k＞

1

e

（Ⅲ）∵e＞x₁+x₂＞x₁＞0，由上可知f(x)=

lnx

x

在（0，e）上单调递增，
∴

ln(x1+x2)

x1+x2

＞

lnx1

x1

即

x1ln(x1+x2)

x1+x2

＞lnx1①，
同理

x2ln(x1+x2)

x1+x2

＞lnx2②
两式相加得ln（x₁+x₂）＞lnx₁+lnx₂=lnx₁x₂
∴x₁+x₂＞x₁x₂

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．导数是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．