Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2，PB⊥底面ABCD，E是PC上的点．
（1）求证：BD⊥平面PBC；
（2）设PB＞1，若E是PC的中点，且直线PD与平面EDB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，求二面角P-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BD⊥PB，BD⊥BC，BD⊥平面PBC．
（2）以B为原点，建立空间直角坐标系，求出平面EDB的法向量和平面PBD的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的余弦值．

解答 证明：（1）∵PB⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PB，…（2分）
由题意知AB=1，AD=1，CD=2，
∴$BD=BC=\sqrt{2}$，∴BD²+BC²=DC²，
∴BD⊥BC，又BC∩PB=B，
∴BD⊥平面PBC．…（6分）
解：（2）以B为原点，建立空间直角坐标系如图3所示，
则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，-1，0），设P（0，0，a）（a＞0），
则E（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（1，1，0），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（1，1，-a），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面EDB的法向量，
则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y+az=0}\end{array}}\right.$，取x=a，y=-a，z=-2，则$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2）．
设直线PD与平面EDB所成角为θ，
依题意，sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PD}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2a}{\sqrt{2}（{a}^{2}+2）}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
解得a=2或a=1（舍），…（8分）
由（1）知BC⊥BD，BC⊥PB，
∴BC⊥平面PBD，
∴$\overrightarrow{BC}$=（1，-1，0）为平面PBD的法向量，
当a=2时，$\overrightarrow{n}$=（2，-2，-2），cos＜$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由图形得二面角P-BD-E为锐角，所以其余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．