Question

2．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=$\frac{1}{2}$PD=1．
（1）求证：BQ∥面PCD；
（2）在PC上是否存在一点M使DM⊥平面PCB，若存在，指出具体位置，若不存在，说明理由；
（3）求二面角Q-BP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明：平面ABQ∥面PCD，即可证明BQ∥面PCD；
（2）证明平面BCP⊥平面PCD，过D作DM⊥PC，垂足为M，则DM⊥平面BCP，利用射影定理即可求出P的位置；
（3），将底面补成平行四边形ADPG，过Q作QE⊥BG，QF⊥PB，连接EF，则∠EFQ是二面角Q-BP-C的平面角，从而求二面角Q-BP-C的余弦值．

解答 （1）证明：∵PD∥QA，PD?平面PDC，QA?平面PDC，
∴QA∥平面PDC，
同理AB∥平面PDC，
∵QA∩AB=A，
∴平面ABQ∥面PCD，
∵BQ?平面ABQ，
∴BQ∥面PCD；
（2）证明∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC⊥CD，
∵PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，
∵BC?平面BCP，
∴平面BCP⊥平面PCD，
过D作DM⊥PC，垂足为M，则DM⊥平面BCP，
△PCD中，CD=1，PD=2，PC=$\sqrt{5}$，由射影定理可得1²=$\sqrt{5}$CM，∴CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CM：MP=1：4；
（3）解：如图所示，将底面补成平行四边形ADPG，过Q作QE⊥BG，QF⊥PB，连接EF，则∠EFQ是二面角Q-BP-C的平面角，
由题意，BQ=PQ=$\sqrt{2}$，BP=$\sqrt{6}$，EQ=$\frac{1}{2}$DM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴FQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$，
∴cos∠EFQ=$\frac{EF}{FQ}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查线面平行，线面垂直，考查二面角Q-BP-C的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．