Question

14．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点（0，3）的直线与抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的横坐标为（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 设AB的中点为H，求出准线方程，设A，B，H在准线上的射影分别为A'，B'，H'，运用抛物线的定义可得H的横坐标为2，设出直线AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得k的范围，由中点坐标公式解得k=-2，再求直线AB的中垂线方程，令y=0，即可得到所求值．

解答 解：设AB的中点为H，
抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线为x=-1，
设A，B，H在准线上的射影分别为A'，B'，H'，
则|HH'|=$\frac{1}{2}$（|AA'|+|BB'|），
由抛物线的定义可得，
|AF|=|AA'|，|BF|=|BB'|，
|AF|+|BF|=6，即为|AA'|+|BB'|=6，
|HH'|=$\frac{1}{2}$×6=3，
即有H的横坐标为2，
设直线AB：y=kx+3，
代入抛物线方程，可得k²x²+（6k-4）x+9=0，
即有判别式（6k-4）²-36k²＞0，解得k＜$\frac{1}{3}$且k≠0，
又x₁+x₂=$\frac{4-6k}{{k}^{2}}$=4，
解得k=-2或$\frac{1}{2}$（舍去），
则直线AB：y=-2x+3，
AB的中点为（2，-1），
AB的中垂线方程为y+1=$\frac{1}{2}$（x-2），
令y=0，解得x=4，
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查两直线垂直的条件和中点坐标公式的运用，属于中档题．