Question

6．设椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 设椭圆的方程和点P的坐标，把点P的坐标代入椭圆的方程，求出点P的纵坐标的绝对值，Rt△PF₁F₂ 中，利用边角关系，建立a、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率．

解答 解：设椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），设点P（c，h），则 $\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{h}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
h²=b²-$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，∴|h|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，由题意得∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=45°，
Rt△PF₁F₂ 中，tan45°=1=$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{P{F}_{2}}{2c}$=$\frac{|h|}{2c}$=$\frac{{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2ac}$，
∴a²-c²=2ac，$（\frac{c}{a}）^{2}+2×\frac{c}{a}-1=0$，∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}-1$

点评 本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用．考查计算能力．属于中档题目．