Question

11．已知命题P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；如果￢p∨Q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，解得a即可；对于命题Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根?△=1-4a≥0，解得a即可．由于￢p∨Q为假命题，可得P为真命题，Q为假命题，求其交集即可．

解答 解：对于命题P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，解得0≤a＜4；
对于命题Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根，?△=1-4a≥0，解得a≤$\frac{1}{4}$．
∵￢p∨Q为假命题，
∴P为真命题，Q为假命题，
∴0≤a＜4且a$＞\frac{1}{4}$；
解得$\frac{1}{4}＜a＜4$．
所以实数a的取值范围为$（\frac{1}{4}，4）$．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、二次函数的性质、一元二次方程有实数根的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．