Question

设a_n（n=2，3，4，…）是（2+x）ⁿ的展开式中x²项的系数，则

2010

2009

×（

22

a2

+

23

a3

+

24

a4

+…+

22010

a2010

）=（　　）

• A、8
• B、4
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：由题意求得a_n，可得

2n

an

=8（

1

n-1

-

1

n

），故要求的式子即

2010

2009

×8×[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2009

-

1

2010

）]，计算求得结果．

解答： 解：由题意可得a_n=

C

2 n

•2^n-2=n（n-1）•2^n-3，∴

2n

an

=

8

n(n-1)

=8（

1

n-1

-

1

n

），
则

2010

2009

×（

22

a2

+

23

a3

+

24

a4

+…+

22010

a2010

）=

2010

2009

×8[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2009

-

1

2010

）]
=

2010

2009

×8×（1-

1

2010

）=8，
故选：A．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，用裂项法进行数列求和，属于基础题．