Question

3．若直线x+my-1=0与圆C：x²+y²+mx+ny+4p=0交A，B两点，且A，B两点关于直线y=x对称，则实数p的取值范围为（-∞，0）．

Answer 1

分析 根据圆的性质，得直线x+my-1=0与直线y=x垂直且圆心C，在直线y=x上，由此解出m、n，从而得到直线和圆的方程，再由圆心C到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式即可算出实数p的取值范围．

解答 解：根据题意，由于直线x+my-1=与圆C：x²+y²+mx+ny+4p=O交于 A，B两点，且A，B两点关于直线y=x对称，
则可知直线AB的斜率为-1，故可知m=1，
∴圆心C（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{n}{2}$）在直线y=x上，可得m=n=1．
并且AB中点坐标在y=x上，联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y-1=0\end{array}\right.$，得到交点横坐标为x=$\frac{1}{2}$，则y=$\frac{1}{2}$，
则该点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）在圆内部，圆C：x²+y²+x+y+4p=0，圆心C（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），半径R=$\sqrt{1+1-16p}$=$\sqrt{2-16p}$，
∵直线x+y-1=0与圆C相交，
∴$\frac{|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1|}{\sqrt{2}}＜\sqrt{2-16p}$，解之得p＜0，
则实数P的取值范围为（-∞，0）．
故答案为：（-∞，0）．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．