Question

11．若关于x的不等式（3x-1）²＜ax²的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（$\frac{25}{4}$，$\frac{64}{9}$]．

Answer 1

分析 由不等式可知a是大于0，（3x-1）²＜ax²即为ax²-（3x-1）²＞0．利用平方差分解因式得[（$\sqrt{a}$+3）x-1][（$\sqrt{a}$-3）x+1]＞0，得到a的解集，由解集中的整数恰有2个，且为1，2，得到a的不等式，解不等式可得a的范围．

解答 解：由题知，a＞0 则
（3x-1）²＜ax²即为ax²-（3x-1）²＞0．
即（$\sqrt{a}$x+3x-1）（$\sqrt{a}$x-3x+1）＞0，
即[（$\sqrt{a}$+3）x-1][（$\sqrt{a}$-3）x+1]＞0，
由于$\sqrt{a}$+3＞0，而不等式的解答中恰有两个整数解，
故必有$\sqrt{a}$-3＜0，即必有a＜9，
所以不等式可变为[（$\sqrt{a}$+3）x-1][（3-$\sqrt{a}$）x-1]＜0，
解得$\frac{1}{\sqrt{a}+3}$＜x＜$\frac{1}{3-\sqrt{a}}$，
又0＜$\frac{1}{\sqrt{a}+3}$＜1，结合解集中恰有两个整数，即为1，2．
可得2＜$\frac{1}{3-\sqrt{a}}$≤3，
解得$\frac{25}{4}$＜a≤$\frac{64}{9}$．
所以a∈（$\frac{25}{4}$，$\frac{64}{9}$]．
故答案为：（$\frac{25}{4}$，$\frac{64}{9}$]．

点评 本题考查学生解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力．