Question

7．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式命题中正确的个数是（　　）
（1）ab≤1  （2）$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$$≤2\sqrt{2}$  （3）a²+b²≥2  （4）a³+b³≥3  （5）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥2$  （6）$\frac{5-2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}≤\frac{3}{2}$（7）a⁴+b⁴∈[2，16）（8）a²+2b²∈[$\frac{8}{3}$，8）（9）（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}{b}$）≥4  （10）（a-$\frac{2}{b}$）（b+$\frac{1}{a}$）≤-2．

• A． 5个
• B． 6个
• C． 7个
• D． 8个

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0，a+b=2，
（1）由已知可得：$2≥2\sqrt{ab}$，化为ab≤1，即可判断出正误．
（2）可得：$（\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}）^{2}$≤2（2a+1+2b+1）=12，化简即可判断出正误．
（3）利用a²+b²≥$\frac{（a+b）^{2}}{2}$，即可判断出正误．
（4）取a=b=1时，不等式a³+b³≥3 不成立，即可判断出正误．
（5）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}（a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{2}（2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）$，利用基本不等式的性质即可判断出正误．
（6）由于3（a²+b²）+4ab=a²+b²+2（a+b）²≥$\frac{5}{2}（a+b）^{2}$，即可判断出正误．
（7）a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²=$[（a+b）^{2}+（\sqrt{2}-2）ab]$$[（a+b）^{2}-（2+\sqrt{2}）ab]$=$[4+（\sqrt{2}-2）ab][4-（2+\sqrt{2}）ab]$=2（ab-4）²-16，利用ab∈（0，1]即可判断出正误．
（8）a²+2b²=a²+2（2-a）²=3$（a-\frac{4}{3}）^{2}$+$\frac{8}{3}$，利用二次函数的单调性即可判断出正误．
（9）利用基本不等式的性质，即可判断出正误．
（10）（a-$\frac{2}{b}$）（b+$\frac{1}{a}$）=ab-$\frac{2}{ab}$-1，令ab=t∈（0，1]，则f（t）=t-$\frac{2}{t}$-1，利用导数研究其单调性即可判断出正误．

解答 解：由a＞0，b＞0，a+b=2，
（1）可得：$2≥2\sqrt{ab}$，化为ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号．因此正确．
（2）可得：$（\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}）^{2}$≤2（2a+1+2b+1）=12，∴$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$≤2$\sqrt{3}$，当且仅当a=b=1时取等号，因此不正确．
（3）∵a²+b²≥$\frac{（a+b）^{2}}{2}$=2，当且仅当a=b=1时取等号，因此正确．
（4）取a=b=1时，不等式a³+b³≥3 不成立，因此不正确；
（5）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}（a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{2}（2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）$≥$\frac{1}{2}（2+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}）$=2，当且仅当a=b=1时取等号，正确．
（6）∵3（a²+b²）+4ab=a²+b²+2（a+b）²≥$\frac{5}{2}（a+b）^{2}$=10，当且仅当a=b=1时取等号，∴$\frac{5-2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}≤\frac{3}{2}$，正确．
（7）a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²=$（{a}^{2}+{b}^{2}+\sqrt{2}ab）$$（{a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{2}ab）$=$[（a+b）^{2}+（\sqrt{2}-2）ab]$$[（a+b）^{2}-（2+\sqrt{2}）ab]$
=$[4+（\sqrt{2}-2）ab][4-（2+\sqrt{2}）ab]$=2a²b²-16ab+16=2（ab-4）²-16∈[2，16）（∵ab∈（0，1]），因此正确．
（8）a²+2b²=a²+2（2-a）²=3a²-8a+8=3$（a-\frac{4}{3}）^{2}$+$\frac{8}{3}$∈[$\frac{8}{3}$，8），正确；
（9）（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}{b}$）≥$2\sqrt{a•\frac{1}{a}}$×$2\sqrt{b•\frac{1}{b}}$=4，当且仅当a=b=1时取等号，正确；
（10）（a-$\frac{2}{b}$）（b+$\frac{1}{a}$）=ab-$\frac{2}{ab}$-1，令ab=t∈（0，1]，则f（t）=t-$\frac{2}{t}$-1，f′（t）=1+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，因此函数f（t）在t∈（0，1]上单调递增，∴f（t）≤f（1）=-2，因此正确．
综上可得：不等式命题中正确的个数是8．
故选：D．

点评 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了综合解决问题的能力、变形能力、推理能力与计算能力，属于难题．