Question

15．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂，且f（-3）=-4，则不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|-1的解集为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，2）
• C． （0，1）∪（1，2）
• D． （-∞，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 由题意可得函数R（x）=f（x）-x是R上的增函数，由不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|-1，可得f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|＞-1=f（-3）-（-3），得到log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|＞-3，由此求得x的范围．

解答 解：∵函数f（x）的定义域为R，对任意x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂，
即 $\frac{[f{（x}_{1}）{-x}_{1}]-[f{（x}_{2}）{-x}_{2}]}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞0，
故函数R（x）=f（x）-x是R上的增函数，
由不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|-1，可得f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|＞-1=f（-3）-（-3），
∴log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|＞-3，故-8＜3^x-1＜8，解得：x＜2，
由3^x-1≠0，解得：x≠0，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，判断函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，是解题的关键，属于中档题．