Question

10．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²sinB，且bsinA-$\sqrt{3}$acosB=0，则$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=2．

Answer 1

分析 由已知结合正弦定理求得tanB=$\sqrt{3}$，进一步求得角B，再由S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²sinB，可得b²=ac结合余弦定理变形求得$\frac{a+c}{b}$的值，利用正弦定理可得结论．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理，且bsinA-$\sqrt{3}$acosB=0可化为且sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，即tanB=$\sqrt{3}$，
又B∈（0，π），于是B=$\frac{π}{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²sinB，∴b²=ac，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
可得4b²=（a+c）²，于是$\frac{a+c}{b}$=2，
∴$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{a+c}{b}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了灵活变形能力，是中档题．