Question

16．在（x+$\frac{4}{x}$-4）⁵的展开式中x³的系数是180．（用具体数作答）

Answer 1

分析 （x+$\frac{4}{x}$-4）⁵的展开式中：T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（-4）^5-r$（x+\frac{4}{x}）^{r}$，（r=0，1，…，5）．$（x+\frac{4}{x}）^{r}$的通项公式：T_k+1=4^k${∁}_{r}^{k}$x^r-2k．（k=0，1，…，r）．令r-2k=3，k=0时，r=3；k=1时，r=5．即可得出．

解答 解：（x+$\frac{4}{x}$-4）⁵的展开式中：T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（-4）^5-r$（x+\frac{4}{x}）^{r}$，（r=0，1，…，5）
$（x+\frac{4}{x}）^{r}$的通项公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}$${x}^{r-k}（\frac{4}{x}）^{k}$=4^k${∁}_{r}^{k}$x^r-2k．（k=0，1，…，r）．
令r-2k=3，k=0时，r=3；k=1时，r=5．
∴x³的系数是${4}^{0}{∁}_{3}^{0}×（-4）^{5-3}{∁}_{5}^{3}$+$4{∁}_{5}^{1}$×$（-4）^{0}{∁}_{5}^{5}$=180．
故答案为：180．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．